Pitanje nalazi li se svaki kontekstno-slobodni jezik (CFL) unutar klase složenosti P fascinantna je tema unutar teorije računalne složenosti. Kako bismo sveobuhvatno odgovorili na ovo pitanje, bitno je razmotriti definicije jezika bez konteksta, klasu složenosti P i odnos između ovih koncepata.
Jezik bez konteksta vrsta je formalnog jezika koji se može generirati pomoću gramatike bez konteksta (CFG). CFG je skup proizvodnih pravila koja opisuju sve moguće nizove u danom formalnom jeziku. Svako pravilo u CFG-u zamjenjuje jedan neterminalni simbol s nizom neterminalnih i terminalnih simbola. Kontekstno slobodni jezici značajni su u računalnoj znanosti jer mogu opisati sintaksu većine programskih jezika i prepoznaju ih pushdown automati.
Klasa složenosti P sastoji se od problema odlučivanja koji se mogu riješiti determinističkim Turingovim strojem u polinomnom vremenu. Polinomijalno vrijeme, označeno kao O(n^k) gdje je n veličina ulaza, a k konstanta, predstavlja gornju granicu vremenske složenosti algoritma. Problemi u P smatraju se učinkovito rješivima jer vrijeme potrebno za njihovo rješavanje raste upravljivom brzinom kako se povećava ulazna veličina.
Da bismo utvrdili je li svaki kontekstno-slobodni jezik u P, moramo ispitati računalne resurse potrebne za odlučivanje o članstvu u kontekstualno-slobodnom jeziku. Problem odlučivanja za kontekstno-slobodan jezik obično se izražava na sljedeći način: s obzirom na niz w i kontekstno-slobodnu gramatiku G, odredite može li G generirati w.
Standardni algoritam za odlučivanje o članstvu u jeziku bez konteksta je algoritam CYK (Cocke-Younger-Kasami), koji je algoritam dinamičkog programiranja. CYK algoritam radi u O(n^3) vremena, gdje je n duljina ulaznog niza. Ova kubična vremenska složenost nastaje zato što algoritam konstruira tablicu analize koja ima dimenzije proporcionalne duljini ulaznog niza i broju neterminalnih simbola u gramatici.
S obzirom da algoritam CYK radi u polinomnom vremenu, slijedi da se problem pripadnosti za kontekstno-slobodne jezike može riješiti u polinomnom vremenu. Posljedično, jezici bez konteksta doista su unutar klase složenosti P. Ovaj rezultat je značajan jer utvrđuje da se o jezicima bez konteksta, koji su izražajniji od običnih jezika, još uvijek može učinkovito odlučiti.
Da bismo to ilustrirali, razmotrimo jezik bez konteksta L = {a^nb^n | n ≥ 0}, koji se sastoji od nizova s jednakim brojem 'a' iza kojih slijedi jednak broj 'b'. Gramatika bez konteksta za ovaj jezik može se definirati na sljedeći način:
S → aSb | ε
Ovdje je S početni simbol, a ε predstavlja prazan niz. CYK algoritam se može koristiti za određivanje da li dati niz w pripada L. Na primjer, s obzirom na niz w = "aaabbb", CYK algoritam bi konstruirao tablicu za analizu kako bi potvrdio da gramatika w može generirati.
Dodatno, vrijedi napomenuti da se neki jezici bez konteksta mogu odlučiti čak i učinkovitije od opće O(n^3) vremenske složenosti algoritma CYK. Na primjer, deterministički kontekstno slobodni jezici, koji su podskup kontekstno slobodnih jezika koje prepoznaju deterministički potisni automati, često se mogu odlučiti za O(n) vremena. Ova linearna vremenska složenost nastaje zato što deterministički pushdown automati imaju ograničeniji računalni model, dopuštajući učinkovitije algoritme za raščlanjivanje kao što su LR(k) ili LL(k) parseri koji se koriste u dizajnu kompilatora.
Problem članstva za jezike bez konteksta može se riješiti u polinomijalnom vremenu korištenjem algoritama kao što je algoritam CYK, stavljajući jezike bez konteksta unutar klase složenosti P. Ovaj rezultat naglašava učinkovitost kojom se jezici bez konteksta mogu obraditi, čineći ih prikladan za primjene u analizi sintakse programskog jezika i drugim područjima gdje je potrebno formalno prepoznavanje jezika.
Ostala nedavna pitanja i odgovori u vezi Složenost:
- Nije li klasa PSPACE jednaka klasi EXPSPACE?
- Je li P klasa složenosti podskup PSPACE klase?
- Možemo li dokazati da su Np i P klasa iste pronalaženjem učinkovitog polinomskog rješenja za bilo koji NP potpuni problem na determinističkom TM?
- Može li klasa NP biti jednaka klasi EXPTIME?
- Postoje li problemi u PSPACE-u za koje ne postoji poznati NP algoritam?
- Može li problem SAT biti potpuni problem NP?
- Može li problem biti u klasi složenosti NP ako postoji nedeterministički turingov stroj koji će ga riješiti u polinomnom vremenu
- NP je klasa jezika koji imaju polinomske verifikatore vremena
- Jesu li P i NP zapravo ista klasa složenosti?
- Postoji li kontradikcija između definicije NP kao klase problema odlučivanja s verifikatorima polinomnog vremena i činjenice da problemi u klasi P također imaju verifikatore polinomnog vremena?
Više pitanja i odgovora pogledajte u Složenosti