Pitanje jesu li klase P i NP ekvivalentne jedan je od najznačajnijih i dugotrajnih otvorenih problema u polju teorije složenosti računanja. Da bismo odgovorili na ovo pitanje, bitno je razumjeti definicije i svojstva ovih klasa, kao i implikacije pronalaženja učinkovitog polinomskog vremenskog rješenja za bilo koji NP-kompletan problem na determinističkom Turingovom stroju (TM).
Definicije i pozadina
P (vrijeme polinoma): Klasa P sastoji se od problema odlučivanja (problema s odgovorom da/ne) koji se mogu riješiti determinističkim Turingovim strojem u polinomijalnom vremenu. Drugim riječima, problem je u P ako postoji algoritam koji može riješiti bilo koju instancu problema u vremenu koje je ograničeno polinomskom funkcijom veličine ulaza.
NP (nedeterminističko polinomsko vrijeme): Klasa NP sastoji se od problema odlučivanja za koje se dano rješenje može verificirati u polinomnom vremenu determinističkim Turingovim strojem. Alternativno, NP se može opisati kao klasa problema koji se mogu riješiti nedeterminističkim Turingovim strojem u polinomijalnom vremenu. Nedeterministički Turingov stroj je teorijski model koji može "nagađati" i istraživati više putanja računanja istovremeno.
NP-kompletni problemi: Problem je NP-kompletan ako zadovoljava dva uvjeta:
1. Nalazi se u NP.
2. Svaki problem u NP može se svesti na njega korištenjem redukcije polinomskog vremena. To znači da ako imamo algoritam polinomijalnog vremena za rješavanje NP-kompletnog problema, možemo ga koristiti za rješavanje bilo kojeg problema u NP u polinomijalnom vremenu.
P vs. NP pitanje
P vs. NP pitanje postavlja pitanje može li se svaki problem u NP riješiti u polinomnom vremenu determinističkim Turingovim strojem, tj. je li P = NP. Ako je P = NP, to bi značilo da se svaki problem za koji se rješenje može verificirati brzo (u polinomnom vremenu) također može brzo riješiti (u polinomnom vremenu).
Dokazivanje P = NP rješavanjem NP-kompletnog problema
Ako možemo pronaći učinkovito rješenje polinomskog vremena za bilo koji NP-kompletan problem na determinističkom Turingovom stroju, možemo dokazati da je P = NP. To je zbog prirode NP-kompletnih problema: ako se jedan NP-kompletan problem može riješiti u polinomijalnom vremenu, tada se svaki problem u NP može transformirati (reducirati) u taj problem u polinomijalnom vremenu, i stoga se također može riješiti u polinomno vrijeme.
Primjer: problem zadovoljivosti (SAT)
Jedan od najpoznatijih NP-potpunih problema je Boolean satisfiability problem (SAT). SAT problem postavlja pitanje postoji li dodjela istinitih vrijednosti varijablama tako da data Booleova formula daje vrijednost true. Cook-Levinov teorem utvrdio je da je SAT NP-kompletan, što znači da ako možemo riješiti SAT u polinomijalnom vremenu, možemo riješiti bilo koji problem u NP u polinomijalnom vremenu.
Koraci dokazivanja P = NP
1. Identificirajte NP-kompletan problem: Odaberite bilo koji poznati NP-potpuni problem, kao što je SAT, 3-SAT ili problem trgovačkog putnika (TSP).
2. Razvijte algoritam polinomskog vremena: Konstruirajte algoritam koji rješava odabrani NP-kompletni problem u polinomnom vremenu na determinističkom Turingovom stroju.
3. Provjerite vrijeme polinoma: Osigurajte da algoritam radi u vremenu ograničenom polinomskom funkcijom veličine ulaza.
4. Redukcija polinomskog vremena: Pokažite da se svaki problem u NP može svesti na odabrani NP-kompletan problem u polinomnom vremenu.
Implikacije P = NP
Ako se dokaže da je P = NP, implikacije bi bile duboke za različita polja, uključujući kriptografiju, optimizaciju i umjetnu inteligenciju. Mnogi kriptografski sustavi oslanjaju se na pretpostavku da je određene probleme (npr. faktoriziranje velikih cijelih brojeva) teško riješiti u polinomnom vremenu. Ako je P = NP, ove pretpostavke više ne bi vrijedile, potencijalno ugrožavajući sigurnost kriptografskih protokola.
Trenutni Status
Unatoč opsežnim istraživanjima, nitko još nije pronašao algoritam polinomskog vremena za bilo koji NP-kompletan problem, niti je itko dokazao da takav algoritam ne može postojati. Problem P vs. NP ostaje jedan od sedam "Problema milenijske nagrade" za koje je Clay Mathematics Institute ponudio nagradu od milijun dolara za točno rješenje.
Zaključak
Pitanje jesu li P i NP isti pronalaženjem učinkovitog polinomskog rješenja za bilo koji NP-kompletan problem na determinističkom Turingovom stroju ostaje otvoreno. Složenost ovog problema leži u intrinzičnoj težini NP-kompletnih problema i izazovu razvoja algoritama za polinomno vrijeme za njih. Rješenje ovog pitanja imalo bi dalekosežne posljedice u više domena računalne znanosti i šire.
Ostala nedavna pitanja i odgovori u vezi Složenost:
- Nije li klasa PSPACE jednaka klasi EXPSPACE?
- Je li P klasa složenosti podskup PSPACE klase?
- Može li klasa NP biti jednaka klasi EXPTIME?
- Postoje li problemi u PSPACE-u za koje ne postoji poznati NP algoritam?
- Može li problem SAT biti potpuni problem NP?
- Može li problem biti u klasi složenosti NP ako postoji nedeterministički turingov stroj koji će ga riješiti u polinomnom vremenu
- NP je klasa jezika koji imaju polinomske verifikatore vremena
- Jesu li P i NP zapravo ista klasa složenosti?
- Je li svaki kontekstno slobodni jezik u P klasi složenosti?
- Postoji li kontradikcija između definicije NP kao klase problema odlučivanja s verifikatorima polinomnog vremena i činjenice da problemi u klasi P također imaju verifikatore polinomnog vremena?
Više pitanja i odgovora pogledajte u Složenosti