Nije li klasa PSPACE jednaka klasi EXPSPACE?
Pitanje nije li klasa PSPACE jednaka klasi EXPSPACE temeljni je i neriješen problem u teoriji složenosti računanja. Kako bi se osiguralo sveobuhvatno razumijevanje, bitno je razmotriti definicije, svojstva i implikacije ovih klasa složenosti, kao i širi kontekst složenosti prostora.
Definicije i osnovna svojstva
PSPACE: Klasa PSPACE sastoji se od svih problema odlučivanja koje može riješiti Turingov stroj korištenjem polinomske količine prostora. Formalno, jezik L je u PSPACE-u ako postoji Turingov stroj M i polinomska funkcija p(n) takva da za svaki ulaz x, stroj M odlučuje je li x u L koristeći najviše p(|x|) prostora. PSPACE obuhvaća širok raspon problema, uključujući one koji su rješivi u polinomijalnom vremenu (P) i one koji su potpuni za PSPACE, kao što je problem kvantificirane Booleove formule (QBF).
EXPSPACE: Klasa EXPSPACE uključuje sve probleme odlučivanja koje može riješiti Turingov stroj koristeći eksponencijalnu količinu prostora. Konkretno, jezik L je u EXPSPACE-u ako postoji Turingov stroj M i eksponencijalna funkcija f(n) takva da za svaki ulaz x, stroj M odlučuje je li x u L koristeći najviše 2^f(|x|) prostor. EXPSPACE je veća klasa od PSPACE-a, jer dopušta eksponencijalno više prostora, omogućujući rješavanje šireg spektra problema.
Odnos između PSPACE i EXPSPACE
Da bismo razumjeli odnos između PSPACE i EXPSPACE, važno je prepoznati hijerarhiju klasa složenosti prostora. Po definiciji, PSPACE je sadržan unutar EXPSPACE-a jer se svaki problem koji se može riješiti korištenjem polinomnog prostora također može riješiti korištenjem eksponencijalnog prostora. Formalno, PSPACE ⊆ EXPSPACE. Međutim, obrnuto nije nužno točno; široko se vjeruje da EXPSPACE sadrži probleme koji se ne mogu riješiti korištenjem prostora polinoma, što implicira da je PSPACE ≠ EXPSPACE.
Primjeri i implikacije
Razmotrite QBF problem, koji je PSPACE-kompletan. Ovaj problem uključuje određivanje istinitosti kvantificirane Booleove formule, a može se riješiti korištenjem prostora polinoma. Budući da je QBF PSPACE-kompletan, bilo koji problem u PSPACE-u može se svesti na QBF u polinomijalnom vremenu. S druge strane, primjer problema u EXPSPACE-u, ali ne nužno u PSPACE-u, je problem dohvatljivosti za izmjenične Turingove strojeve s eksponencijalnim granicama prostora. Ovaj problem zahtijeva praćenje eksponencijalnog broja konfiguracija, što je neizvedivo s prostorom polinoma.
Teorem o prostornoj hijerarhiji
Teorem o svemirskoj hijerarhiji daje formalnu osnovu za vjerovanje da je PSPACE strogo sadržan unutar EXPSPACE-a. Ovaj teorem tvrdi da za bilo koju prostorno konstruktivnu funkciju f(n) postoji jezik o kojem se može odlučiti u prostoru f(n), ali ne i u prostoru o(f(n)). Primjenom ovog teorema s f(n) = 2^n, dobivamo da postoje problemi rješivi u eksponencijalnom prostoru koji se ne mogu riješiti ni u jednom subeksponencijalnom prostoru, uključujući polinomski prostor. Stoga, teorem o prostornoj hijerarhiji implicira da je PSPACE strogo sadržan unutar EXPSPACE, tj. PSPACE ⊂ EXPSPACE.
Neriješena priroda PSPACE ≠ EXPSPACE
Unatoč snažnim dokazima koje pruža Teorem o svemirskoj hijerarhiji, pitanje nije li PSPACE jednako EXPSPACE ostaje neriješeno. To je zato što bi dokazivanje striktne nejednakosti PSPACE ≠ EXPSPACE zahtijevalo dokazivanje postojanja specifičnog problema u EXPSPACE koji se ne može riješiti u PSPACE, što do danas nije postignuto. Poteškoća leži u inherentnim izazovima dokazivanja odvajanja između klasa složenosti, što je uobičajena tema u teoriji računalne složenosti.
Širi kontekst i povezane klase složenosti
Odnos između PSPACE i EXPSPACE može se kontekstualizirati unutar šireg krajolika klasa složenosti. Na primjer, klasa P (problemi rješivi u polinomijalnom vremenu) je podskup PSPACE-a, a široko se vjeruje da je P ≠ PSPACE. Slično, klasa NP (nedeterminističko polinomsko vrijeme) također je sadržana unutar PSPACE-a, a poznati problem P vs. NP središnje je otvoreno pitanje u ovom području. Odnosi zadržavanja među ovim klasama su sažeti kako slijedi:
– P ⊆ NP ⊆ PPROSTOR ⊆ EXPSTOR
Osim ovih klasa, postoje i druge važne klase prostorne složenosti, kao što su L (logaritamski prostor) i NL (nedeterministički logaritamski prostor), koje su podskupovi PSPACE-a. Odnosi među ovim klasama dodatno ilustriraju hijerarhiju računalne složenosti koja se temelji na zahtjevima prostora.
Pitanje nije li PSPACE jednako EXPSPACE temeljni je i neriješen problem u teoriji složenosti računanja. Dok Teorem o prostornoj hijerarhiji pruža snažne dokaze da je PSPACE strogo sadržan unutar EXPSPACE, formalni dokaz striktne nejednakosti PSPACE ≠ EXPSPACE ostaje nedostižan. Istraživanje ovog pitanja baca svjetlo na širi krajolik klasa složenosti i inherentne izazove dokazivanja odvajanja među njima.
Ostala nedavna pitanja i odgovori u vezi Složenost:
- Je li P klasa složenosti podskup PSPACE klase?
- Možemo li dokazati da su Np i P klasa iste pronalaženjem učinkovitog polinomskog rješenja za bilo koji NP potpuni problem na determinističkom TM?
- Može li klasa NP biti jednaka klasi EXPTIME?
- Postoje li problemi u PSPACE-u za koje ne postoji poznati NP algoritam?
- Može li problem SAT biti potpuni problem NP?
- Može li problem biti u klasi složenosti NP ako postoji nedeterministički turingov stroj koji će ga riješiti u polinomnom vremenu
- NP je klasa jezika koji imaju polinomske verifikatore vremena
- Jesu li P i NP zapravo ista klasa složenosti?
- Je li svaki kontekstno slobodni jezik u P klasi složenosti?
- Postoji li kontradikcija između definicije NP kao klase problema odlučivanja s verifikatorima polinomnog vremena i činjenice da problemi u klasi P također imaju verifikatore polinomnog vremena?
Više pitanja i odgovora pogledajte u Složenosti