Objasnite odnos između izračunljive funkcije i postojanja Turingovog stroja koji je može izračunati.
U polju teorije računalne složenosti, odnos između izračunljive funkcije i postojanja Turingovog stroja koji je može izračunati od temeljne je važnosti. Da bismo razumjeli ovaj odnos, prvo moramo definirati što je izračunljiva funkcija i kako se ona odnosi na Turingove strojeve.
Izračunljiva funkcija, također poznata kao rekurzivna funkcija, je matematička funkcija koja se može izračunati pomoću algoritma. To je funkcija za koju postoji Turingov stroj koji će, s obzirom na bilo koji ulaz, stati i proizvesti točan izlaz za taj ulaz. Drugim riječima, izračunljiva funkcija je ona koju može učinkovito izračunati Turingov stroj.
S druge strane, Turingovi strojevi teorijski su računalni uređaji koje je predstavio Alan Turing 1936. Sastoje se od beskonačne vrpce podijeljene na ćelije, glave za čitanje/pisanje koja se može kretati po vrpci i skupa stanja koja upravljaju ponašanje stroja. Stroj čita simbole na vrpci, izvodi određene radnje na temelju svog trenutnog stanja i simbola koji čita, te prelazi u novo stanje. Ovaj proces se nastavlja sve dok stroj ne dođe u stanje zaustavljanja.
Odnos između izračunljive funkcije i postojanja Turingovog stroja koji je može izračunati temelji se na konceptu Turingove potpunosti. Za Turingov stroj se kaže da je Turing-kompletan ako može simulirati bilo koji drugi Turingov stroj. Drugim riječima, Turing-kompletan stroj može izračunati bilo koju funkciju koju može izračunati bilo koji drugi Turingov stroj.
S obzirom na ovu definiciju, možemo reći da ako je funkcija izračunljiva, tada postoji Turingov stroj koji je može izračunati. Suprotno tome, ako Turingov stroj može izračunati funkciju, tada je ta funkcija izračunljiva. Taj se odnos temelji na činjenici da su Turingovi strojevi univerzalni računalni uređaji sposobni simulirati bilo koji drugi Turingov stroj.
Da bismo ilustrirali ovaj odnos, razmotrimo primjer. Pretpostavimo da imamo izračunljivu funkciju koja zbraja dva broja. Možemo definirati Turingov stroj koji uzima dva ulaza, pomiče glavu za čitanje/pisanje na prvi broj na vrpci, dodaje mu drugi broj i ispisuje rezultat. Ovaj Turingov stroj može izračunati funkciju zbrajanja, pokazujući odnos između izračunljive funkcije i postojanja Turingovog stroja koji je može izračunati.
Odnos između izračunljive funkcije i postojanja Turingovog stroja koji je može izračunati temelji se na konceptu Turingove potpunosti. Izračunljiva funkcija je ona koju može učinkovito izračunati Turingov stroj, a Turingov stroj je Turing-kompletan ako može simulirati bilo koji drugi Turingov stroj. Stoga, ako je funkcija izračunljiva, postoji Turingov stroj koji je može izračunati, i obrnuto.
Ostala nedavna pitanja i odgovori u vezi Računalne funkcije:
- Što znači da su različite varijacije Turingovih strojeva ekvivalentne u računalnim sposobnostima?
- Koje je značenje Turingovog stroja koji se uvijek zaustavlja kada računa izračunljivu funkciju?
- Može li se Turingov stroj modificirati da uvijek prihvaća funkciju? Objasnite zašto ili zašto ne.
- Kako Turingov stroj izračunava funkciju i koja je uloga ulazne i izlazne trake?
- Što je izračunljiva funkcija u kontekstu teorije računalne složenosti i kako se definira?