Ako je A ≤m B i B je odlučivo, što možemo zaključiti o odlučivosti A?
U polju teorije složenosti računanja, koncept mogućnosti odlučivanja igra važnu ulogu u razumijevanju granica računanja. Odlučivost se odnosi na sposobnost određivanja može li se dati problem ili jezik riješiti algoritmom. U ovom kontekstu, jezik predstavlja skup nizova nad danom abecedom.
Kada razmatramo odnos između dva jezika, A i B, često analiziramo može li se jedan jezik svesti na drugi. Redukcija s jezika A na jezik B je transformacija koja nam omogućuje rješavanje instanci A pomoću algoritma za B. Ova redukcija se označava kao A ≤m B, gdje "≤m" predstavlja redukciju preslikavanja.
Sada, pretpostavimo da imamo redukciju s jezika A na jezik B i znamo da je jezik B odlučan. To znači da postoji algoritam koji može odrediti pripadnost jeziku B. Postavlja se pitanje: što možemo zaključiti o odlučivosti jezika A?
Da bismo odgovorili na ovo pitanje, moramo razmotriti prirodu smanjenja. Ako je redukcija polinomijalno vremenska redukcija, također poznata kao polinomijalno vremenska redukcija više-jedan, tada možemo zaključiti da ako je A ≤m B i B se može odlučiti, onda je A također odlučiv.
Redukcija polinomnog vremena je redukcija preslikavanja koja se može izračunati u polinomnom vremenu. To znači da bilo koju ulaznu instancu A možemo transformirati u instancu B u polinomnom vremenu. Nadalje, izlaz redukcije imat će isto članstvo kao izvorni ulaz. Drugim riječima, ako ulaz pripada A, onda izlaz pripada B, i obrnuto.
Ključni uvid iza ovog zaključka leži u činjenici da nam redukcija polinomskog vremena omogućuje rješavanje instanci A tako da ih prvo transformiramo u instance B, a zatim primijenimo odlučujući faktor za B. Budući da je B moguće odlučiti, možemo odrediti je li transformirana primjerak B pripada B ili ne. Ekstenzijom također možemo odrediti pripada li izvorna instanca A A ili ne.
Da bismo ilustrirali ovaj koncept, razmotrimo primjer. Pretpostavimo da imamo dva jezika, A i B, gdje A predstavlja skup svih prostih brojeva, a B predstavlja skup svih parnih brojeva. Znamo da je B odredivo jer možemo lako provjeriti je li dati broj paran ili ne. Sada definirajmo redukciju od A do B na sljedeći način: dan ulazni broj n, transformiramo ga u 2n. Jasno je da ako je n prost, onda je 2n paran, a ako n nije prost, onda 2n nije paran. Prema tome, možemo riješiti instance A pretvarajući ih u instance B i primjenom odlučujućeg za B.
Ako je A ≤m B i B je odlučivo, tada možemo zaključiti da je A također odlučivo, pod uvjetom da je redukcija s A na B redukcija polinomskog vremena. Ovaj rezultat naglašava moć redukcijskih tehnika u razumijevanju odlučivosti jezika i međuigre između različitih računalnih problema.
Ostala nedavna pitanja i odgovori u vezi odlučivost:
- Može li se vrpca ograničiti na veličinu ulaza (što je ekvivalentno ograničenju glave Turingovog stroja da se kreće izvan ulaza TM vrpce)?
- Što znači da su različite varijacije Turingovih strojeva ekvivalentne u računalnim sposobnostima?
- Može li jezik koji je Turingu prepoznatljiv formirati podskup jezika koji se može odlučiti?
- Može li se riješiti problem zaustavljanja Turingovog stroja?
- Ako imamo dva TM-a koji opisuju jezik koji se može odlučiti, je li pitanje ekvivalencije još uvijek neodlučno?
- Kako se problem prihvaćanja za linearne ograničene automate razlikuje od problema Turingovih strojeva?
- Navedite primjer problema koji se može riješiti pomoću linearno ograničenog automata.
- Objasnite koncept odlučivosti u kontekstu linearno ograničenih automata.
- Kako veličina trake u linearno ograničenim automatima utječe na broj različitih konfiguracija?
- Koja je glavna razlika između linearno ograničenih automata i Turingovih strojeva?
Pogledajte više pitanja i odgovora u Odlučnosti