Entropija je temeljni koncept u teoriji informacija i igra važnu ulogu u raznim područjima, uključujući kibernetičku sigurnost i kvantnu kriptografiju. U kontekstu klasične entropije, matematička svojstva entropije dobro su definirana i daju dragocjene uvide u prirodu informacija i njihovu nesigurnost. U ovom ćemo odgovoru istražiti ta matematička svojstva i objasniti zašto je entropija nenegativna.
Prvo, definirajmo entropiju. U informacijskoj teoriji, entropija mjeri prosječnu količinu informacija sadržanu u slučajnoj varijabli. Kvantificira neizvjesnost povezanu s mogućim ishodima slučajne varijable. Matematički, za diskretnu slučajnu varijablu X s funkcijom mase vjerojatnosti P(X), entropija H(X) dana je izrazom:
H(X) = -∑ P(x) log₂ P(x)
gdje se zbrajanje uzima preko svih mogućih vrijednosti x od X. Logaritam se obično uzima na bazu 2, što rezultira entropijom koja se mjeri u bitovima.
Razmotrimo sada matematička svojstva entropije. Prvo svojstvo je da je entropija uvijek nenegativna. To znači da entropija slučajne varijable ili sustava ne može biti negativna. Da bismo razumjeli zašto je entropija nenegativna, moramo razmotriti svojstva funkcije logaritma.
Funkcija logaritma definirana je samo za pozitivne vrijednosti. U formuli entropije, funkcija mase vjerojatnosti P(x) predstavlja vjerojatnost pojavljivanja svake vrijednosti x. Budući da su vjerojatnosti nenegativne (tj. P(x) ≥ 0), bit će definiran logaritam nenegativne vjerojatnosti. Štoviše, logaritam od 1 jednak je 0. Stoga će svaki član u zbroju entropijske formule biti nenegativan ili jednak nuli. Kao rezultat toga, zbroj nenegativnih članova također će biti nenegativan, osiguravajući da entropija nije negativna.
Da bismo ilustrirali ovo svojstvo, razmotrimo pošteno bacanje novčića. Slučajna varijabla X predstavlja ishod bacanja novčića, gdje je X = 0 za glave i X = 1 za repove. Funkcija mase vjerojatnosti P(X) dana je s P(0) = 0.5 i P(1) = 0.5. Uključivanjem ovih vrijednosti u entropijsku formulu, dobivamo:
H(X) = -(0.5 log₂ 0.5 + 0.5 log₂ 0.5) = -(-0.5 – 0.5) = 1
Entropija poštenog bacanja novčića je 1 bit, što ukazuje na to da postoji jedan dio neizvjesnosti povezan s ishodom bacanja novčića.
Osim što je nenegativna, entropija posjeduje i druga važna svojstva. Jedno takvo svojstvo je da je entropija maksimizirana kada su svi ishodi jednako vjerojatni. Drugim riječima, ako je funkcija mase vjerojatnosti P(x) takva da je P(x) = 1/N za sve moguće vrijednosti x, gdje je N broj mogućih ishoda, tada je entropija maksimizirana. Ovo svojstvo je u skladu s našom intuicijom da najveća neizvjesnost postoji kada su svi ishodi jednako vjerojatni.
Nadalje, entropija je aditivna za nezavisne slučajne varijable. Ako imamo dvije neovisne slučajne varijable X i Y, entropija njihove zajedničke distribucije je zbroj njihovih pojedinačnih entropija. Matematički se ovo svojstvo može izraziti kao:
H(X, Y) = H(X) + H(Y)
Ovo je svojstvo osobito korisno pri analizi entropije kompozitnih sustava ili pri radu s višestrukim izvorima informacija.
Matematička svojstva entropije u klasičnoj teoriji informacija dobro su definirana. Entropija nije negativna, maksimizirana je kada su svi ishodi jednako vjerojatni i aditivna je za neovisne slučajne varijable. Ova svojstva daju čvrstu osnovu za razumijevanje prirode informacija i njihove nesigurnosti.
Ostala nedavna pitanja i odgovori u vezi Klasična entropija:
- Kako razumijevanje entropije pridonosi dizajnu i evaluaciji robusnih kriptografskih algoritama u području kibernetičke sigurnosti?
- Kolika je najveća vrijednost entropije i kada se ona postiže?
- Pod kojim uvjetima entropija slučajne varijable nestaje i što to znači o varijabli?
- Kako se entropija slučajne varijable mijenja kada je vjerojatnost ravnomjerno raspoređena između ishoda u usporedbi s time kada je pristrana prema jednom ishodu?
- Kako se binarna entropija razlikuje od klasične entropije i kako se izračunava za binarnu slučajnu varijablu s dva ishoda?
- Kakav je odnos između očekivane duljine kodnih riječi i entropije slučajne varijable u kodiranju varijabilne duljine?
- Objasnite kako se koncept klasične entropije koristi u shemama kodiranja promjenjive duljine za učinkovito kodiranje informacija.
- Koja su svojstva klasične entropije i kako se ona odnosi na vjerojatnost ishoda?
- Kako klasična entropija mjeri nesigurnost ili slučajnost u danom sustavu?